На учительском столе лежат 20 ручек трёх цветов: синего, чёрного и красного (есть хотя бы по одной ручке каждого цвета). Известно, что среди любых трёх ручек есть хотя бы одна красная. Сколько на столе красных ручек?

В условии задачи сказано, что среди любых трёх ручек есть хотя бы одна красного цвета, а возможно это только в том случае, если ручек синего и чёрного цвета будет только по одной. Ведь если, взяв любые три ручки, одна должна оказаться красного цвета, то соответственно ручек другого цвета должно быть всего две.

Найдём, сколько всего красных ручек.

20 - 2 = 18 красных ручек.

Ответ: на столе 18 красных ручек.