Под корнем 2 + под корнем x-5=под корнем 13-x

Решим данное уравнение √ (2 + √ (x - 5)) = √ (13 - x). Заметим, что такого требования в задании нет. Прежде всего, определим область допустимых значений неизвестной х. Согласно определения арифметического квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. В составе уравнения имеются три квадратных корня. Заметим, что подкоренное выражение внешнего корня в левой стороне уравнения 2 + √ (x - 5) ≥ 2. Для остальных корней, имеем x - 5 ≥ 0 и 13 - x ≥ 0. Эти два неравенства оформим в виде следующего двойного неравенства: 5 ≤ х ≤ 13, то есть х ∈ [5; 13]. Возводим в квадрат обе части данного уравнения, при этом побочные корни не появятся, так как обе части равенства являются неотрицательными величинами. Имеем: 2 + √ (x - 5) = 13 - х или √ (x - 5) = 11 - х. Используя формулу сокращенного умножения (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b² (квадрат разности), возводим в квадрат обе части данного уравнения (при этом, могут появиться побочные корни, так как левая часть равенства неотрицательна, а про правую часть нельзя утверждать такое). Имеем: (√ (x - 5)) ² = (11 - x) ² или x - 5 = 121 - 22 * х + х², откуда х² - 23 * х + 126 = 0. Вычислим дискриминант D полученного квадратного уравнения: D = (-23) ² - 4 * 1 * 126 = 529 - 504 = 25 > 0. Положительность дискриминанта даёт возможность вычислить два различных корня квадратного уравнения: х₁ = (23 - √ (25)) / 2 = (23 - 5) / 2 = 9 и х₂ = (23 + √ (25)) / 2 = (23 + 5) / 2 = 14. Анализ полученных корней показывает, что решением данного уравнения является лишь корень х = 9, а корень из-за 14 ∉ [5; 13] не может считаться решением.

Ответ: х = 9.