Можно ли все натуральные числа от 1 до 800 разбить на пары так, чтобы сумма каждой пары делилась на 6?

Очевидно, чтобы разбить таким образом данные числа нужно выбирать в пару числа так, чтобы сумма их остатков от деления на 6 делилась на 6, например, если одно из чисел 1, то парным ему может быть число 11, их сумма 12 делится на 6.

Для чисел же кратных 6 в пару нужно подбирать также число кратное 6. Определим, сколько таких чисел встречается от 1 до 800:

800 / 6 = 133 ост (2).

Кратных 6 чисел среди чисел от 1 до 800 всего 133 штуки, следовательно, одному из кратных 6 чисел невозможно будет подобрать пару, а значит, разбить числа указанным образом на пары невозможно.

Ответ: нет, нельзя.