В гостиной комнате в каждом углу ровно одна лампочка. Для каждой лампочки есть свой выключатель. Сколькими способами можно осветлить зал, если хотя бы одна лампочка должна гореть обязательно?

В гостиной комнате четыре угла, и в каждом углу одна лампочка. Следовательно, в комнате всего четыре лампочки.

Должна гореть как минимум одна лампочка. Значит, можно включить одну лампочку, две, три или все четыре.

1) Предположим, мы хотим зажечь только одну лампочку. Мы можем выбрать любую лампочку из четырех. Таким образом, у нас есть четыре варианта.

2) Предположим, мы хотим зажечь ровно две лампочки из четырех. Выясним, сколько вариантов у нас есть. Для этого воспользуемся формулой числа сочетаний:

C^k_n = n! / (k! * (n - k) !).

В нашем случае n = 4 и k = 2.

C²₄ = 4! / (2! * (4 - 2) !) = 4! / (2! * 2!) = 3 * 4 / 2 = 6 (вариантов).

Итак, если мы хотим зажечь ровно две лампочки, то у нас есть шесть вариантов.

3) Предположим, мы хотим зажечь ровно три лампочки из четырех. Выясним, сколько вариантов у нас есть. Для этого вновь воспользуемся формулой числа сочетаний. В данном случае n = 4 и k = 3.

C³₄ = 4! / (3! * (4 - 3) !) = 4! / (3! * 1!) = 4 (варианта).

Итак, если мы хотим зажечь ровно три лампочки, то у нас есть четыре варианта.

4) Предположим, мы хотим зажечь четыре лампочки. Тогда у нас есть только один вариант, ведь лампочек всего четыре.

Составим сумму и посчитаем общее количество вариантов.

4 + 6 + 4 + 1 = 15 (вариантов).

Итак, существует пятнадцать различных способов, чтобы осветить гостиную комнату.

Ответ: пятнадцать способов.