Решите неравенство 2 / (x^2+12x+32) больше или равно 1 / (x^2+10x+24)

Решим неравенство 2 / (x^2 + 12 * x + 32) ≥ 1 / (x^2 + 10 * x + 24).

В этом неравенстве содержатся дроби.

Найдем ОДЗ дробей.

Знаменатель дробей не должен равняться нулю.

x^2 + 12 * x + 32 ≠ 0

Найдем корни уравнения.

D = 12^2 - 4 * 1 * 32 = 144 - 128 = 16.

x1 = (-12 + √16) : 2 * 1 = (-12 + 4) : 2 = - 8/2 = - 4.

x2 = (-12 - √16) : 2 * 1 = (-12 - 4) : 2 = - 16/2 = - 8.

ОДЗ : x ≠ - 4, x ≠ - 8.

x^2 + 10 * x + 24 ≠ 0

D = 100 - 96 = 4.

x1 = (-10 + √4) : 2 = (-10 + 2) : 2 = - 8/2 = - 4.

x2 = (-10 - √4) : 2 = (-10 - 2) : 2 = - 12/2 = - 6.

ОДЗ : x ≠ - 4, x ≠ - 6.

Общее ОДЗ будет такое: x1 ≠ - 4, x2 ≠ - 8, x3 ≠ - 6.

Далее решим наше неравенство с учетом ОДЗ.

2 / (x^2 + 12 * x + 32) ≥ 1 / (x^2 + 10 * x + 24)

Умножим обе части неравенства на знаменатели "крест на крест"

2 * (x^2 + 10 * x + 24) ≥ (x^2 + 12 * x + 32)

2 * x^2 + 20 * x + 48 ≥ x^2 + 12 * x + 32

2 * x^2 + 20 * x + 48 - x^2 - 12 * x - 32 ≥ 0

x^2 + 8 * x + 16 ≥ 0.

x^2 + 8 * x + 16 = 0

D = 64 - 4 * 16 = 64 - 64 = 0

x = - 8/2 = - 4.

C учетом ОДЗ найдем множество решений неравенства.

х ∈ (-4, + ∞) - решение неравенства. Включение числа - 4 исключили, т. к. по ОДЗ x ≠ - 4.

Ответ: х ∈ (-4, + ∞).