Натуральное число n представляется в виде n=p^2*q, где p и q-простые числа, при этом сумма всех делителей n, включая 1, но не считая самого n, равна 1516. Найдите все такие числа n.

1. Количество делителей числа n, представленного в виде произведения степеней двух простых множителей:

n = p^k1 * q^k2,

определяется по формуле:

N (n) = (k1 + 1) (k2 + 1).

2. Для данного числа n:

k1 = 2; k2 = 1;

N (n) = (2 + 1) * (1 + 1) = 3 * 2 = 6.

3. Делители числа n:

1; p; q; p^2; pq; p^2 * q.

4. Сумма всех делителей, кроме p^2 * q, равна 1516:

1 + p + q + p^2 + pq = 1516;

p + q + p (p + q) = 1515;

(p + q) (p + 1) = 1515. (1)

5. Из уравнения (1) следует, что числа p + q и p + 1 - нечетные, поэтому:

p = 2;

(2 + q) (2 + 1) = 1515;

3 (q + 2) = 1515;

q + 2 = 505;

q = 503, простое число;

n = 2^2 * 503 = 4 * 503 = 2012.

6. Проверим сумму делителей:

1 + 2 + 4 + 503 + 1006 = 1516.

Ответ. Единственное число: 2012.