Натуральное число N оканчивается на ...70, при этом имеет ровно 72 натуральных делителя (включая 11 и само себя). Сколько будет натуральных делителей у числа 80N?

1. Количество делителей f (n) числа n, представленного в виде произведения степеней простых множителей:

n = П[i = 1; m] (pi^ki),

равно:

f (n) = П[i = 1; m] (ki + 1),

где П[i = 1; m] означает произведение членов с индексом i от 1 до m.

2. Простые числа 2 и 5 имеют вклад в виде множителя в количестве делителей числа N:

P (2; 5) = (1 + 1) (1 + 1) = 2 * 2 = 4.

3. В числе N1 = 80N = 2^5 * 5 * N будет 6 двоек и 2 пятерки, следовательно, их вклад равен:

P1 (2, 5) = (6 + 1) (2 + 1) = 7 * 3 = 21.

4. Для количества делителей N1 получим:

f (N1) = f (N) : 4 * 21 = 72 : 4 * 21 = 18 * 21 = 378.

Ответ: 378.