Решить уравнение: cosx/1 - sinx = 0

cos (x/2) - sin x = 0;

cos (x/2) - 2 * sin (x/2) * cos (x/2) = 0;

cos (x/2) * (1 - 2 * sin (x/2)) = 0;

1) cos (x/2) = 0;

x/2 = pi/2 + pi * n, где n принадлежит Z;

x = pi/2 * 2 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

x = pi + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

2) 1 - 2 * sin (x/2) = 0;

1 = 2 * sin (x/2);

sin (x/2) = 1/2;

x/2 = ( - 1) ^ n * arcsin (1/2) + pi * n, где n принадлежит Z;

x/2 = ( - 1) ^ n * pi/6 + pi * n, где n принадлежит Z;

x = ( - 1) ^ n * pi/6 * 2 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

x = ( - 1) ^ n * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

Ответ: x = pi + 2 * pi * n и x = ( - 1) ^ n * pi/3 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z.

Допустимые значения переменной

cosx / (1 - sinx) = 0.

Найдем допустимые значения переменной x, т. е. те значения, при которых выражения, входящие в состав уравнения, имеют смысл. В данном примере дробь определена, когда знаменатель дроби не равен нулю:

1 - sinx ≠ 0;

sinx ≠ 1.

Функция sinx имеет период 2π, а максимальное значение, т. е. единицу, принимает в верхней точке угловой окружности, при 90°:

x ≠ π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Решение уравнения с учетом допустимых значений переменной

cosx / (1 - sinx) = 0.

Дробь обращается в ноль при нулевых значениях числителя:

cosx = 0.

Функция cosx также имеет период 2π, а нулевые значения принимает в верхней и нижней точках угловой окружности, т. е. при ±90°:

x = - π/2 + 2πk, k ∈ Z; x = π/2 + 2πk, k ∈ Z, или объединив эти два решения, можно записать одним выражением: x = ± π/2 + πk, k ∈ Z.

Если сравним эти два решения, отличающиеся только знаком первого слагаемого, с областью допустимых значений переменной, то увидим, что второе решение не входит в эту область, поэтому единственным решением уравнения будет:

x = - π/2 + 2πk, k ∈ Z.

Ответ: - π/2 + 2πk, k ∈ Z.