Решите систему 5^ (2x*y) = 625 3^ (x-3y) = 27

Воспользуемся свойством степени и приведем показательные уравнение к общему основанию:

{5^ (2 ху) = 625;

{3^ (х - 3y) = 27;

{5^ (2 ху) = 5^4;

{3^ (х - 3y) = 3^3;

Так как основания в уравнениях равны, заменим их равносильными:

{2 ху = 4;

{х - 3y = 3;

Выразим х из второго уравнения и решим ее методом подстановки:

х = 3 + 3 у;

2 у (3 + 3 у) = 4;

6 у + 6 у^2 - 4 = 0;

6 у^2 + 6y - 4 = 0;

3 у^2 + 3y - 2 = 0;

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = 3² - 4 * 3 * ( - 2) = 9 + 24 = 33;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 3 - √33) / 2 * 1 = ( - 3 - √33) / 2;

у2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 3 + √33) / 2 * 1 = ( - 3 + √33) / 2;

Тогда:

если у1 = ( - 3 - √33) / 2, то х1 = 3 + 3 * ( - 3 - √33) / 2 = 3 + ( - 9 - 3√33) / 2 = (-6 - 3√33) / 2;

если у2 = ( - 3 + √33) / 2, то х2 = 3 + 3 * ( - 3 + √33) / 2 = 3 + ( - 9 + 3√33) / 2 = (-6 + 3√33) / 2;

Ответ: у1 = ( - 3 - √33) / 2, х1 = (-6 - 3√33) / 2, у2 = ( - 3 + √33) / 2, х2 = (-6 + 3√33) / 2.