Две стороны четырехугольника равны 1 и 5, а одна из диагоналей имеет длину 3 и делит этот четырехугольник на два равнобедренных треугольника. Какой наименьший периметр может быть у этого четырехугольника?

Для решения данной задачи нужно знать:

Периметр - это сумма длин всех сторон; в треугольнике длина любой стороны меньше суммы длин двух других сторон и больше их разности; в равнобедренном треугольнике две стороны равны. Введем обозначения

Пусть данный четырехугольник имеет вершины АВСД.

1) Пусть АВ = 1, ВС = 5, диагональ АС равна 3.

Рассмотрим треугольник АВС.

По свойству треугольника: АВ < BC + AC, AC < AB + BC, DC < AB + AC

Проверим: 1 < 5 + 3

5 < 1 + 3 (неверно)

3 < 1 + 5

Значит, такого треугольника не существует. Диагональ АС не может быть равна 3. Значит, диагональ ВД равна 3.

2) Пусть АВ = 1, ВС = 5, диагональ ВД равна 3.

По условию, диагональ делит четырехугольник на два равнобедренных треугольника.

Рассмотрим треугольник АВД: АВ = 1, ВД = 3.

Значит АД равна либо 1, либо 3, так как треугольник равнобедренный.

Пусть АД = 1. Проверим треугольник на свойства сторон:

ВД < АВ + АД, 3 < 1 + 1 (неверно)

Значит, АД = 3.

Рассмотрим треугольник ВДС: ВС = 5, ВД = 3.

Значит, ДС равна либо 3, либо 5, так как треугольник равнобедренный.

Пусть ДС = 5.

Значит, ВД < ВС + АД, 3 < 5 + 5 (неверно)

Значит, ДС = 3.

Найдем периметр четырехугольника АВСД

Мы знаем все стороны четырехугольника АВСД: АВ = 1, ВС = 5, АД = 3, ДС = 3.

Периметр равен: 1 + 5 + 3 + 3 = 12.

Ответ: P_авсд = 12.

Обозначим вершины четырехугольника как A, B, C, D;

Пусть AB = 1. Диагональ из вершины AC = 3. Так как диагональ отсекает равнобедренный треугольник, то в треугольнике ABC единственно возможная длина стороны BC = 3, потому что у треугольника со сторонами 1 и 1 третья сторона никак не может быть равна 3, так как даже лежащие на одной линии две стороны 1 + 1 = 2 меньше 3;

AD = 5. Так как второй треугольник, отсекаемый диагональю ACD тоже равнобедренный, то DC может быть равна 3 или 5. Выбираем 3, так как ищем четырехугольник с наименьшим периметром.

Определим периметр AB + BC + CD + AD = 1 + 3 + 3 + 5 = 12;

Ответ: Наименьший периметр = 12.