В натуральном числе переставили цифры и получили число, в три раза больше исходного. Доказать, что полученное число делится на 27

1. Пусть:

x - исходное натуральное число; y - число, полученное от x перестановкой цифр; N (n) - сумма цифр числа n.

2. По условию задачи имеем:

y = 3x.

Из признака делимости на 3 следует, что N (y) делится на 3. А поскольку при перестановке цифр некоторого числа сумма его цифр не меняется:

N (x) = N (y),

то x также делится на 3:

x = 3z, отсюда: y = 3x = 3 * 3z = 9z.

3. Рассуждая аналогичным образом, получим:

y делится на 9 = > x делится на 9 = > x = 9w; y = 3x = 3 * 9w = 27w.

Что и требовалось доказать.