Натуральные числа выписаны в бесконечный ряд: 123456789101112131415 ... На каком месте в этом ряду находится пятисотая двойка?

1. Пусть:

M - некое подмножество натуральных чисел; Mi - множество i-значных чисел; f (M, k) - количество цифры k среди чисел множества M; g (m, n, k) - количество цифры k среди чисел от m до n.

2. Тогда:

f (Mi, 2) = 10^ (i - 1) + 9 * 10^ (i - 1) * (i - 1) / 10; f (Mi, 2) = 10^ (i - 1) + 9 * 10^ (i - 2) * (i - 1); f (Mi, 2) = 10^ (i - 2) * (10 + 9 (i - 1)); f (Mi, 2) = 10^ (i - 2) * (9i + 1). f (M1, 2) = 10^ (1 - 2) * (9 * 1 + 1) = 10^ (-1) * 10 = 1; f (M2, 2) = 10^ (2 - 2) * (9 * 2 + 1) = 10^0 * 19 = 19; f (M3, 2) = 10^ (3 - 2) * (9 * 3 + 1) = 10^1 * 28 = 280; g (1, 999, 2) = f (M1, 2) + f (M2, 2) + f (M3, 2) = 1 + 19 + 280 = 300.

3. Найдем последнее число:

g (1000, 1099, 2) = 3 * 100/10 = 30; g (1100, 1199, 2) = 30; g (1200, 1299, 2) = 100 + 30 = 130; g (1300, 1319, 2) = 2; g (1320, 1326, 2) = 8; g (1000, 1326, 2) = 30 + 30 + 130 + 2 + 8 = 200; g (1, 1326, 2) = g (1, 999, 2) + g (1000, 1326, 2) = 300 + 200 = 500.

Ответ. Пятисотая двойка в числе 1326.