найдите все значения параметра a, при которых число 1 заключено межу корнями уравнения x^2 + (a-7) x+a^2-6a=0

1. Для решения параметрического квадратного уравнения вычислим дискриминант:

x^2 + (a - 7) x + a^2 - 6a = 0;

D = (a - 7) ^2 - 4 (a^2 - 6a); D = a^2 - 14a + 49 - 4a^2 + 24a; D = - 3a^2 + 10a + 49.

2. Корни уравнения:

x = ( - (a - 7) ± √D) / 2 = (7 - a ± √D) / 2; x1 = (7 - a - √D) / 2; x2 = (7 - a + √D) / 2.

3. Ограничения для двух корней:

{x1 < 1;

{x2 > 1; { (7 - a - √D) / 2 < 1;

{ (7 - a + √D) / 2 > 1; {7 - a - √D < 2;

{7 - a + √D > 2; {√D > 5 - a;

{√D > a - 5; √D > |5 - a|, (обеспечивает условие для двух корней: D > 0); D > (5 - a) ^2; - 3a^2 + 10a + 49 > 25 - 10a + a^2; 4a^2 - 20a - 24 < 0; a^2 - 5a - 6 < 0; a1 = - 1; a2 = 6;

a ∈ (-1; 6).

Ответ: (-1; 6).