Выполнить деление многочленов: (х4+х3+х2-х-2) : (х3+х-2) 2. Найти действительные корни уравнения: 2 х4+3 х3-10 х2-5 х-6=0 3. Решить уравнение: 4 х2 / (х-2) - 4 х / (х+3) = (9 х+2) / (х2+х-6) 4. Решить систему уравнений: 2 х2-у=2, Х-у=1. 5. Решить задачу: Площадь прямоугольного треугольника равна 15 см2, а сумма его катетов равна 11 см. Найти катеты.

1) (х⁴ + х³ + х² - х - 2) : (х³ + х - 2). Берем по х: х * (х³ + х - 2) = х⁴ + х² - 2 х.

Вычитаем из (х⁴ + х³ + х² - х - 2) полученное выражение (х⁴ + х² - 2 х), остается (х³ + х - 2), берем по 1.

Ответ: (х⁴ + х³ + х² - х - 2) : (х³ + х - 2) = х + 1.

2) 2 х⁴ + 3 х³ - 10 х² - 5 х - 6 = 0. Раскладываем на множители. Корнями уравнения являются делители свободного члена - 6: 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6 или - 6.

Подбором определяем, что подходит число 2: 2 * 2⁴ + 3 * 2³ - 10 * 2² - 5 * 2 - 6 = 32 + 24 - 40 - 10 - 6 = 0.

Первая скобка равна нулю (х - 2).

Делим (2 х⁴ + 3 х³ - 10 х² - 5 х - 6) на (х - 2), получается (2 х³ + 7 х² + 4 х + 3).

Находим еще один делитель, это число (-3). Вторая скобка равна (х + 3).

Делим (2 х³ + 7 х² + 4 х + 3) на (х + 3), получается (2 х² + х + 1).

Получилось уравнение (х - 2) (х + 3) (2 х² + х + 1) = 0.

х - 2 = 0; х = 2.

х + 3 = 0; х = - 3.

2 х² + х + 1 = 0; D = 1 - 8 = - 7 (корней нет).

Ответ: корни уравнения равны 2 и - 3.

3) 4 х² / (х - 2) - 4 х / (х + 3) = (9 х + 2) / (х² + х - 6).

Разложим на множители (х² + х - 6). Корни (по Виета) равны - 3 и 2, (х² + х - 6) = (х + 3) (х - 2).

4 х² / (х - 2) - 4 х / (х + 3) = (9 х + 2) / (х + 3) (х - 2).

4 х² / (х - 2) - 4 х / (х + 3) - (9 х + 2) / (х + 3) (х - 2) = 0.

Приводим к общему знаменателю.

(4 х² (х + 3) - 4 х (х - 2) - (9 х + 2)) / (х + 3) (х - 2) = 0.

(4 х³ + 12 х² - 4 х² + 8x - 9 х - 2) / (х + 3) (х - 2) = 0.

(4 х³ + 8 х² - х - 2) / (х + 3) (х - 2) = 0.

ОДЗ: (х + 3) (х - 2) не равно 0, х не равен - 3 и 2.

4 х³ + 8 х² - х - 2 = 0.

Раскладываем на множители методом группировки:

4 х² (х + 2) - (х + 2) = 0.

(4 х² - 1) (х + 2) = 0.

4 х² - 1 = 0; 4 х² = 1; х² = 1/4; х = ±1/2.

х + 2 = 0; х = - 2.

Ответ: корни уравнения равны - 2, - 1/2 и 1/2.

4) 2 х² - у = 2, x - у = 1.

Выразим у из второго уравнения и подставим в первое.

у = х - 1.

2 х² - (х - 1) = 2.

2 х² - х + 1 - 2 = 0.

2 х² - х - 1 = 0.

D = 1 + 8 = 9 (√D = 3);

х₁ = (1 - 3) / 4 = - 1/2.

х₂ = (1 + 3) / 4 = 1.

Ответ: корни уравнения равны - 1/2 и 1.

5) Пусть а и в - катеты прямоугольного треугольника.

Площадь равна 15 см²: 1/2 * а * в = 15; ав = 30.

Сумма катетов равна 11: а + в = 11.

Получилась система: ав = 30; а + в = 11.

Выразим из второго уравнения в и подставим в первое.

в = 11 - а.

а (11 - а) = 30.

-а² + 11a - 30 = 0.

а² - 11a + 30 = 0.

Корни по Виета равны 5 и 6.

Ответ: катеты треугольника равны 5 и 6.