Функция f (x) = x²-x-6 задана на множестве целых чисел, принадлежащих промежутку [-3; 4]. Найдите область значения функции.

Функция f (x) = x² - x - 6 является параболой, ветви которой направлены вверх.

Найдем вершину этой параболы, чтобы понять в какой точке эта функция имеет минимальное значение и на каких интервалах заданная функция возрастает и убывает.

v = - b / 2a

v = - (-1) / (2 * 1) = 1 / 2

То есть при x = 1/2 значение заданной функции минимальное на множестве рациональных чисел.

f (x) = (1/2) ² - (1/2) - 6 = 1/4 - 1/2 - 6 = - 6 - 1/4 = - 6.25

При этом в условии сказано, что эта функция задана на множестве целых чисел, а это значит, что минимальное значение функции будет при x = 0 или x = 1. Это самые близкие целые числа к числу 1/2, которое является вершиной нашей параболы.

f (0) = 0² - 0 - 6 = 0 - 0 - 6 = - 6

f (1) = 1² - 1 - 6 = 1 - 1 - 6 = - 6

Заметим, что вершина этой параболы при x = 1/2 также на координатной прямой имеет равное расстояние до значений - 3 и 4 именно на этом промежутке задана наша функция.

То есть благодаря свойству симметричности параболы, мы можем вычислить только одно значение этой функции.

f (-3) = (-3) ² - (-3) - 6 = 3² + 3 - 6 = 9 - 3 = 6

f (4) = 4² - 4 - 6 = 16 - 10 = 6

Теперь нам осталось найти значение этой функции в промежуточных точках интервала, на котором оно задана: f (-2) = f (3), f (-1) = f (2). Симметричность параболы и знание того, где находится вершина параболы позволяет нам сэкономить подсчеты.

f (-2) = f (3) = (-2) ² - (-2) - 6 = 2² + 2 - 6 = 4 - 4 = 0

f (-1) = f (2) = 2² - 2 - 6 = 4 - 8 = - 4

Ответ: область значений заданной функции составляет множество целых чисел {-6, - 4, 0, 6}