Число 2004 представили в виде суммы пяти натуральных слагаемых и вычислили их наибольший общий делитель. Какое максимальное число могло при этом получиться?

1. Предположим:

2004 = n1 + n2 + n3 + n4 + n5, (1) где

n1, n2, n3, n4 и n5 - натуральные числа,

НОД (n1, n2, n3, n4, n5) = n.

Тогда:

n1 = k1n; n2 = k2n; n3 = k3n; n4 = k4n; n5 = k5n, где

k1, k2, k3, k4 и k5 - тоже натуральные числа.

2. Подставим значения n1, n2, n3, n4 и n5 в уравнение (1):

2004 = k1n + k2n + k3n + k4n + k5n; 2004 = (k1 + k2 + k3 + k4 + k5) n = kn. (2)

3. Из уравнения (2) следует, что k и n являются делителями числа 2004, причем:

k ≥ 5. (3)

Наибольшее значение для n получим при наименьшем значении k, удовлетворяющем условию (3):

k = 6; n = 2004 : 6 = 334.

Сумма пяти чисел:

334 + 334 + 334 + 334 + 668 = 2004.

Ответ: 334.