11 класс: вычислить сумму целых решений неравенства

Вычислим сумму целых решений неравенства: 1 + 2 / (x + 2) + 14 / (x² + x - 2)) ≤0

Найдем область допустимых значений выражения:

x² + x - 2 ≠ 0 или (x + 2) (x - 1) ≠ 0 или x ≠ - 2 и x ≠ 1.

Приведем дроби в неравенстве к общему знаменателю:

(x² + x - 2 + 2 (x - 1) - 14) / (x² + x - 2) <=0

Найдем нули числителя: x² + x - 2 + 2 (x - 1) - 14 = 0 → x² + 3x - 4 = 0.

Корни этого уравнения равны: x₁ = - 4; x₂ = 1.

Получилось три точки, - 4, - 2 и 1 которыми числовая прямая делится на интервалы:

(-∞; - 4); (-4; - 2); (-2; 1); (1; + ∞).

Целыми решениями неравенства в интервале (-∞; - 4) будут соответствовать точки - 5, - 6 и - 4;

на интервале (-4; - 2) точка - 3;

в интервале (-2; 1) удовлетворяющих решению точек нет;

и наконец на интервале (1; + ∞) решению удовлетворяют точки 2 и 3.

Значить сумма состоящая из целых решений будет: - 5 - 6 - 4 - 3 + 2 + 3 = - 13.