X³ + (8-a²) x-8a=0 имеет 3 различных корня (x1; x2; x3) и удовлетворяет неравенству x1²+x2²+x3²≤2a²-a

1. Преобразуем уравнение:

x^3 + (8 - a^2) x - 8a = 0; x^3 + 8x - a^2x - 8a = 0; x^3 - ax^2 + ax^2 - a^2x + 8x - 8a = 0; x^2 (x - a) + ax (x - a) + 8 (x - a) = 0; (x - a) (x^2 + ax + 8) = 0. x1 = a.

2. Уравнение имеет различные корни при D > 0;

x^2 + ax + 8 = 0; D = a^2 - 4 * 8 = a^2 - 32; a^2 - 32 > 0; a^2 > 32; a ∈ (-∞; - 4√2) ∪ (4√2; ∞).

3. Проверим условие для трех корней:

{x2 + x3 = - a;

{x2 * x3 = 8; x1^2 + x2^2 + x3^2 ≤ 2a^2 - a; a^2 + (x2 + x3) ^2 - 2x2 * x3 ≤ 2a^2 - a; a^2 - 2 * 8 ≤ a^2 - a; - 16 ≤ - a; a ≤ 16; {a ∈ (-∞; 16];

{a ∈ (-∞; - 4√2) ∪ (4√2; ∞). a ∈ (-∞; - 4√2) ∪ (4√2; 16].

4. Убедимся, что x = a не является корнем квадратного уравнения:

a^2 + a^2 + 8 = 0; a^2 + 4 = 0 - нет таких значений a.

Ответ: a ∈ (-∞; - 4√2) ∪ (4√2; 16].