Найти натуральное число A, если из трех следующих утверждений два верны, а одно - - неверно: а) A+51 есть точный квадрат, б) последняя цифра числа A есть единица, в) A-38 есть точный квадрат.

Рассмотрим каждый из трех случаев.

1. а) и б) верны, в) неверно:

A ≡ 1 (mod 10); A + 51 ≡ 52 ≡ 2 (mod 10).

Квадрат натурального числа не может оканчиваться на цифру 2. Нет решений.

2. б) и в) верны, а) неверно:

A ≡ 1 (mod 10); A - 38 ≡ 1 - 38 ≡ - 37 ≡ 3 (mod 10).

Квадрат натурального числа не может оканчиваться на цифру 3. Нет решений.

3. а) и в) верны, б) неверно:

{A + 51 = a^2;

{A - 38 = b^2; {A + 51 = a^2;

{a^2 - b^2 = 89; {A = a^2 - 51;

{ (a + b) (a - b) = 89; {A = a^2 - 51;

{a + b = 89;

{a - b = 1; {A = 45^2 - 51;

{a = 45;

{b = 44; {A = 1974;

{a = 45;

{b = 44.

б) неверно, значит, число 1974 удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 1974.