Найти натуральное число А, если известно, что из трёх данных утверждений два верно, а одно нет: 1) А+7 - точный квадрат; 2) последняя цифра А равна 1; 3) А-8 - точный квадрат.

Сначала исключим лишнее условие: 2) Если А оканчивается на 1, то (А + 7) оканчивается на 8, и квадратом быть не может. Берём условие а) (А + 7) = х^2; c) (A - 8) = y^2.

Вычтем а) - с), получим: (А + 7) - (A - 8) = х^2 - y^2; 15 = (x + y) * (x - y). Выделим 2 варианта:

а) (х + у) * (х - у) = 5 * 3; х + у = 5; х - у = 3; 2 * х = 8; х = 4; у = 1. Тогда (А + 7) = х^2 = 4^2 = 16; A = 16 - 7 = 9 = 3^2; A - 8 = 1 = 1^2. Число А = 9.

б) (х + у) * (х - у) = 15 * 1; х + у = 15; х - у = 1, 2 * х = 16, х = 8; у = 7. Тогда А + 7 = 8^2 = 64; A = 57; 57 - 8 = 49 = 7^2.