Cколько существует квадратных трехчленов (т. е. многочленов степени два) с целыми коэффицентами, принимающих на отрезке [0,1] значения только из отрезка [0,1]?

Решение

Пусть f (x) = ax2 + bx + c. По условию | f (0) | ≤ 1, | f (1/2) | ≤ 1, | f (1) | ≤ 1, то есть |c| ≤ 1, |a + 2b + 4c| ≤ 4, |a + b + c| ≤ 1. Отсюда

|a| = |2 (a + b + c) - (a + 2b + 4c) + 2c| ≤ 2|a + b + c| + |a + 2b + 4c| + 2|c| ≤ 8,

|b| = | (a + 2b + 4c) - 3c - (a + b + c) | ≤ |a + 2b + 4c| + 3|c| + |a + b + c| ≤ 8.

Следовательно, |a| + |b| + |c| ≤ 8 + 8 + 1 = 17.

Условие нахождения графика функции в указанной области

Вычислим производную:

y (x) = ax² + bx + c;

y' (x) = 2ax + b.

Определим значения y (x) и y' (x) в точках 0 и 1:

y (0) = c; y (1) = a + b + c;

y' (0) = b; y' (1) = 2a + b.

По условию задачи имеем:

{0 ≤ y (0) ≤ 1

{0 ≤ y (1) ≤ 1

Поскольку ищем многочлены только с целыми коэффициентами, то:

y (0) = 0 или y (0) = 1;

y (1) = 0 или y (1) = 1.

Чтобы график функции лежал в указанной области, значение производной в этих точках должно удовлетворять условиям:

{y (0) = 0

{y' (0) ≥ 0

{y (0) = 1

{y' (0) ≤ 0

{y (1) = 0

{y' (1) ≤ 0

{y (1) = 1

{y' (1) ≥ 0

Следовательно, возможны 4 случая:

y (0) = 0; y (1) = 0; y (0) = 0; y (1) = 1; y (0) = 1; y (1) = 0; y (0) = 1; y (1) = 1. Вычисление коэффициентов многочлена

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

1) y (0) = 0; y (1) = 0;

{y (0) = 0

{y' (0) ≥ 0

{y (1) = 0

{y' (1) ≤ 0

{c = 0

{b ≥ 0

{a + b + c = 0

{2a + b ≤ 0

{c = 0

{b ≥ 0

{a + b = 0

{a ≤ 0

[c = 0; a = 0; b = 0

[c = 0; a ≤ - 1; b = - a

В первом случае функция не имеет вторую степень. Во втором случае получим параболу, проходящую через точки (0; 0) и (1; 0), ветви которой направлены вниз. Поэтому нужно лишь проверить, чтобы значение ординаты вершины параболы было не больше 1:

y (1/2) = a * (1/2) ² + b * (1/2) = a/4 + b/2 = a/4 - a/2 = - a/4;

y (1/2) ≤ 1;

-a/4 ≤ 1;

a ≥ - 4;

(a; b; c) = (-4; 4; 0) ∪ (-3; 3; 0) ∪ (-2; 2; 0) ∪ (-1; 1; 0).

2) y (0) = 0; y (1) = 1;

{y (0) = 0

{y' (0) ≥ 0

{y (1) = 1

{y' (1) ≥ 0

{c = 0

{b ≥ 0

{a + b + c = 1

{2a + b ≥ 0

{c = 0

{b ≥ 0

{a + b = 1

{a ≥ - 1

[c = 0; b = 0; a = 1

[c = 0; b = 1; a = 0

[c = 0; b = 2; a = - 1

Если a = 0 исключить, то

(a; b; c) = (1; 0; 0) ∪ (-1; 2; 0).

3) y (0) = 1; y (1) = 0;

{y (0) = 1

{y' (0) ≤ 0

{y (1) = 0

{y' (1) ≤ 0

{c = 1

{b ≤ 0

{a + b + c = 0

{2a + b ≤ 0

{c = 1

{b ≤ 0

{a + b = - 1

{a ≤ 1

[c = 1; b = 0; a = - 1

[c = 1; b = - 1; a = 0

[c = 1; b = - 2; a = 1

Если a = 0 исключить, то

(a; b; c) = (-1; 0; 1) ∪ (1; - 2; 1).

4) y (0) = 1; y (1) = 1;

{y (0) = 1

{y' (0) ≤ 0

{y (1) = 1

{y' (1) ≥ 0

{c = 1

{b ≤ 0

{a + b + c = 1

{2a + b ≥ 0

{c = 1

{b ≤ 0

{a + b = 0

{a ≥ 0

[c = 1; a = 0; b = 0

[c = 0; a ≥ 1; b = - a

В первом случае функция не имеет вторую степень. Во втором случае получим параболу, проходящую через точки (0; 1) и (1; 1), ветви которой направлены вверх. Поэтому нужно лишь проверить, чтобы значение ординаты вершины параболы было не меньше нуля:

y (1/2) = a * (1/2) ² + b * (1/2) + с = a/4 + b/2 + 1 = a/4 - a/2 + 1 = - a/4 + 1;

y (1/2) ≥ 0;

-a/4 + 1 ≥ 0;

a ≤ 4;

(a; b; c) = (1; - 1; 1) ∪ (2; - 2; 1) ∪ (3; - 3; 1) ∪ (4; - 4; 1).

Таким образом, имеем всего 12 решений:

(-4; 4; 0) ∪ (-3; 3; 0) ∪ (-2; 2; 0) ∪ (-1; 1; 0);

(1; 0; 0) ∪ (-1; 2; 0);

(-1; 0; 1) ∪ (1; - 2; 1);

(1; - 1; 1) ∪ (2; - 2; 1) ∪ (3; - 3; 1) ∪ (4; - 4; 1).

Ответ: 12 многочленов степени 2, а из них 5 являются полными трехчленами.