Является ли прямоугольным треугольник со сторонами a=5 см b=12 см c=13 см. Найдите периметр и площадь треугольника?

Как известно, не всякая тройка положительных чисел может являться длинами сторон треугольника. В связи с этим, сначала проверим критерий существования треугольника со сторонами a = 5 см, b = 12 см и c = 13 см. Вычислим сначала периметр Р = a + b + c = 5 см + 12 см + 13 см = 30 см, а затем полупериметр р = Р / 2 = (30 см) / 2 = 15 см. Поскольку полупериметр 15 см больше чем любая сторона, то, действительно, существует треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см. В задании ставится прямой вопрос: "Является ли прямоугольным треугольник со сторонами a = 5 см, b = 12 см и c = 13 см". Конечно, проверка теоремы Пифагора даст однозначный ответ на поставленный вопрос. Мы проверим более общий критерий, который определит вид треугольника: остроугольный, прямоугольный или тупоугольный. Речь идёт о теореме косинусов, который обобщает теорему Пифагора: Для плоского треугольника, у которого стороны a, b, c и угол γ, который противолежит стороне с, справедливо соотношение: с² = а² + b² - 2 * а * c * cosγ. Имеем: (13 см) ² = (5 см) ² + (12 см) ² - 2 * (5 см) * (12 см) * cosγ или 169 см² = 25 см² + 144 см² - (120 см²) * cosγ, откуда cosγ = 0. Ясно, что γ = 90°, что подтверждает факт о том, что треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см действительно является прямоугольным треугольником. Периметр треугольника определили в п. 1. Он равен 30 см. Площадь S прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = 0,5 * a * b = 0,5 * (5 см) * (12 см) = 30 см².

Ответ: Да, треугольник со сторонами 5 см, 12 см и 13 см действительно является прямоугольным треугольником; его периметр равен 30 см, а площадь равна 30 см².