Найдите множество значений функции y=6-1/2cos3x

Область определения и множество значений функции cosx

Областью определения функции cosx является все множество действительных чисел:

x ∈ R.

На этом множестве функция может принимать значения только в промежутке [-1; 1]:

cosx ∈ [-1; 1], или

-1 ≤ cosx ≤ 1. (1)

Множество значений исходной функции

y = 6 - 1/2 * cos (3x).

Неравенство (1) верно также для аргумента 3x, т. к., по условию задачи, нет никаких ограничений на множество допустимых значений аргумента:

-1 ≤ cosx (3x) ≤ 1. (2)

Преобразуем двойное неравенство (2) и приведем к такому виду, чтобы в средней части неравенства была исходная функция. Для этого:

1. умножим все части неравенства, изменив знак неравенства на противоположный:

1/2 ≥ - 1/2 * cosx (3x) ≥ - 1/2, или

-1/2 ≤ - 1/2 * cosx (3x) ≤ 1/2; (3)

2. прибавим ко всем частям неравенства (3) число 6:

6 - 1/2 ≤ 6 - 1/2 * cosx (3x) ≤ 6 + 1/2; 5,5 ≤ 6 - 1/2 * cosx (3x) ≤ 6,5; 5,5 ≤ y ≤ 6,5. (4)

Левая и правая части двойного неравенства (4) являются теми крайними значениями, между которыми исходная функция может принимать значения. Следовательно, область допустимых значений функции:

y ∈ [5,5; 6,5].

Ответ: [5,5; 6,5].

y = 6 - 1/2 cos 3x;

Из определения косинуса следует:

-1 ≤ cos3x ≤ 1;

Умножим все три части двойного неравенства на - 1/2;

1/2 ≥ - 1 / 2 cos 3x ≥ - 1/2;

Перепишем так:

-1/2 ≤ - 1 / 2 cos 3x ≤ 1/2;

Прибавим к трем частям двойного неравенства 6;

6 - 1/2 ≤ 6 - 1/2 сos 3x ≤ 1/2 + 6;

11/2 ≤ 6 - 1/2 cos 3x ≤ 13/2;

5,5 ≤ 6 - 1/2 cos 3x ≤ 6,5;

Так как данная функция непрерывна на всей области определения, то множество ее значений заключено между наименьшим и наибольшим ее значением на всей области определения. В данном случае множество значений функции y = 6 - 1/2 cos 3x есть множество [5,5; 6,5].