На поверхности пруда плавает одна кувшинка, которая постоянно делится и разрастается. Таким образом, каждый день площадь, которую занимают кувшинки, увеличивается в два раза. Через месяц покрытой оказывается вся поверхность пруда. За сколько времени покроется кувшинками вся поверхность пруда, если изначально на поверхности будут плавать две кувшинки?

Уже на второй день из одной кувшинки получается две кувшинки. А далее, продолжая делиться, они за месяц покрывают всю площадь пруда. Поскольку у нас со старта уже есть две кувшинки, то мы имеем то количество которое бы понадобилось получить за 1 день. Значит, конечный результат мы получим на день раньше.

Ответ: две кувшинки разрастутся на весь пруд на день раньше до конца месяца.

По условию задания поверхности пруда за месяц заполняют кувшинки, которые выросли из одного растения. Каждый день площадь, которую занимают кувшинки, увеличивается в два раза.

Площадь, занятая кувшинками, которые выросли из одного растения

Получается, что:

в первый день в пруду растет 1 кувшинка; во второй - 2 = 1 * 2; в третий - 4 = 2 * 2; в четвертый - 8 = 4 * 2; в пятый - 16 = 8 * 2

и так далее.

Видно, что записанный ряд чисел имеет вид возрастающей геометрической прогрессии, в которой:

первый член равен b (1) = 1;

знаменатель прогрессии составляет q = 2;

количество членов n = 30 (принимается, что в месяце 30 дней).

Тогда, сумма геометрической прогрессии S (n) = b (1) * (q^n - 1) / (q - 1).

S (30) = 1 * (2^30 - 1) / (2 - 1) = 2^30 - 1 = 1073741824 - 1 = 1073741823.

Таким образом, одно растение за 30 дней заполнит всю поверхность пруда 1073741823 кувшинками.

За какое время вырастет 1073741823 кувшинок из 2 растений

В этом случае параметры возрастающей геометрической прогрессии равны:

первый член b1 (1) = 2; знаменатель прогрессии q = 2; количество членов n; сумма геометрической прогрессии S (n) = 1073741823.

Тогда, из S (n) = b1 (1) * (q^n - 1) / (q - 1) получается:

q^n - 1 = S (n) * (q - 1) / b1 (1); q^n = S (n) * (q - 1) / b1 (1) + 1; n ln (q) = ln (S (n) * (q - 1) / b1 (1) + 1); n = ln (S (n) * (q - 1) / b1 (1) + 1) / ln (q) = ln (1073741823 * (2 - 1) / 2 + 1) / ln (2) = 29.

Ответ: Через 29 дней покрытой растениями окажется вся поверхность пруда, если изначально на поверхности плавали две кувшинки.