айдите сумму корней уравнения sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0 принадлежащих отрезку [0 градусов; 180 градусов]

Воспользуемся уравнениями для сумм тригонометрических функций:

sin (x) + sin (y) = 2 * sin[ (x + y) / 2] * cos[ (x - y) / 2]

cos (x) + cos (y) = 2 * cos[ (x + y) / 2] * cos[ (x - y) / 2]

Преобразуем левую часть уравнения:

sin (x) + sin (4 * x) + sin (2 * x) + sin (3 * x) = 2 * sin (2.5 * x) * cos (1.5 * x) + 2 * sin (2.5 * x) * cos (0.5 * x) = 2 * sin (2.5 * x) * [cos (1.5 * x) + cos (0.5 * x) ] = 4 * sin (2.5 * x) * cos (x) * cos (0.5 * x) = 0

sin (2.5 * x) = 0,

cos (x) = 0,

cos (0.5 * x) = 0

Решения в градусах (в пределах 0 и 180°):

2.5 * х1 = 0°, х1 = 0°

2.5 * х2 = 180°, х2 = 72°

х3 = 90°

0.5 * х4 = 90°, х4 = 180°

Сумма корней: 342°.