Сократите дробь x^3-2x^2-16x+32/x^2-6x+8

(x^3 - 2x^2 - 16x + 32) / (x^2 - 6x + 8).

1) Разложим числитель на множители методом группировки.

Вынесем у первой пары одночленов общий множитель х^2 за скобку, а у второй пары (-16):

x^3 - 2x^2 - 16x + 32 = х^2 (х - 2) - 16 (х - 2).

Теперь вынесем (х - 2) : (х - 2) (х^2 - 16).

Вторую скобку раскладываем на множители по формуле разности квадратов:

(х - 2) (х^2 - 16) = (х - 2) (х^2 - 14^2) = (х - 2) (х - 4) (х + 4).

2) Разложим знаменатель на множители по формуле ax^2 + bx + c = (x - x₁) (x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

Найдем корни трехчлена x^2 - 6x + 8 с помощью дискриминанта:

a = 1; b = - 6; c = 8;

D = b^2 - 4ac; D = (-6) ^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4 (√D = 2);

x = (-b ± √D) / 2a;

х1 = (6 - 2) / 2 = 4/2 = 2.

х2 = (6 + 2) / 2 = 8/2 = 4.

Получается, что x^2 - 6x + 8 = (х - 2) (х - 4).

3) Получилась дробь: (х - 2) (х - 4) (х + 4) / (х - 2) (х - 4).

Скобки (х - 2) и (х - 4) сокращаются, остается х + 4.

Ответ: (x^3 - 2x^2 - 16x + 32) / (x^2 - 6x + 8) = х + 4.