cos3x+sinx*sin2x=2cos^3 x+2tgx

cos3x + sinxsin2x = 2cos³x + 2tgx;

1. Применим формулу тройного аргумента тригонометрической функций:

cos3x = 4cos³x - 3cosx;

2. Применим формулу двойного аргумента тригонометрической функций:

sin2x = 2sinxcosx;

3. Перенесем все значения в левую часть:

4cos³x - 3cosx + sinx * 2sinxcosx - 2cos³x - 2tgx = 0;

2cos³x + 2sin²xcosx - 3cosx - 2tgx = 0;

4. Вынесем общий множитель 2cosx:

2cosx (cos²x + sin²x) - 3cosx - 2tgx = 0;

5. Применим формулу основного тождества тригонометрической функций:

sin²x + cos²x = 1;

2cosx - 3cosx - 2tgx = 0;

- cosx - 2tgx = 0;

6. Разложим tgx:

tgx = sinx/cosx;

- cosx - 2 * sinx/cosx = 0;

7. Приведем к общему знаменателю cosx ≠ 0:

- cosx * cosx/cosx - 2 * sinx/cosx * cosx/cosx = 0;

- cos²x - 2sinx = 0;

8. Применим формулу основного тождества тригонометрической функций:

sin²x + cos²x = 1;

cos²x = 1 - sin²x;

- (1 - sin²x) - 2sinx = 0;

- 1 + sin²x - 2sinx = 0;

9. Выполним замену sinx = у, |y| ≤ 1:

y² - 2y - 1 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 2) ² - 4 * 1 * ( - 1) = 4 + 4 = 8;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (2 - √8) / 2 * 1 = (2 - √2 * 4) / 2 = (2 - 2√2) / 2 = 1 - √2;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (2 + √8) / 2 * 1 = (2 + √2 * 4) / 2 = (2 + 2√2) / 2 = 1 + √2;

10. Тогда, если у1 = 1 - √2, то:

sinx = 1 - √2;

х = ( - 1) ⁿ arcsin (1 - √2) + πn, n ∈ Z;

если у2 = 1 + √2, то |1 + √2| > 1 и условие замены не выполняется:

Ответ: х = ( - 1) ⁿ arcsin (1 - √2) + πn, n ∈ Z.