2sin^2x+cos2x=sin2x б) sin7x+cos4x=sinx в) Cos2xCosx=cos3x г) sin2x+sinx=0

а) 2sin²x + cos2x = sin2x.

Формула синуса двойного угла: sin2x = 2sinxcosx.

Формула косинуса двойного угла: cos2x = сos²x - sin²x.

Перенесем все в левую часть.

2sin²x + cos²x - sin²x - 2sinxcosx = 0.

sin²x - 2sinxcosx + cos²x = 0.

Поделим уравнение на cos²x (ОДЗ: сosx не равен 0, х не равен П/2 + Пn, n - целое число).

tg²x - 2tgx + 1 = 0

Введем новую переменную, пусть tgx = а.

а² - 2 а + 1 = 0.

D = 4 - 4 = 0 (один корень)

а = 2/2 = 1.

Вернемся к замене tgx = а.

tgx = 1; х = П/4 + Пn, n - целое число.

б) sin7x + cos4x = sinx.

sin7x - sinx = - cos4x.

2sin ((7x - x) / 2) cos ((7x + x) / 2) = - cos4x.

2sin3 хcos4 х = - cos4x.

Поделим уравнение на cos4x.

2sin3 х = - 1.

sin3 х = - 1/2.

3 х = - П/6 + 2 Пn; х = - П/18 + 2/3 Пn, n - целое число.

3 х = - 5 П/6 + 2 Пn; х = - 5 П/18 + 2/3 Пn, n - целое число.

в) Cos2xсosx = cos3x.

Формула косинуса двойного угла: cos2x = сos²x - sin²x.

Формула косинуса тройного угла: cos3x = 4cos³x - 3cosx.

(сos²x - sin²x) сosx = 4cos³x - 3cosx.

Поделим уравнение на сosx.

ОДЗ: сosx не равен 0, х не равен П/2 + Пn, n - целое число.

сos²x - sin²x = 4cos²x - 3.

Представим sin²x как (1 - сos²x).

сos²x - (1 - сos²x) = 4cos²x - 3.

сos²x - 1 + сos²x - 4cos²x + 3 = 0.

-2cos²x + 2 = 0.

Вынесем на скобку (-2).

-2 (cos²x - 1) = 0.

cos²x - 1 = 0.

cos²x = 1.

Отсюда cosx = - 1; х = П + 2 Пn, n - целое число.

И cosx = 1; х = 2 Пn, n - целое число.

г) sin2x + sinx = 0.

Формула синуса двойного угла: sin2x = 2sinxcosx

2sinxcosx + sinx = 0.

Вынесем sinx на скобку.

sinx (2cosx + 1) = 0.

Отсюда sinx = 0; х = Пn, n - целое число.

Или 2cosx + 1 = 0; 2cosx = - 1; cosx = - 1/2; х = ±2 П/3 + 2 Пn, n - целое число.