На круговой железной дороге расположены четыре станции: A, B, C, D. Расстояние между станциями A и B равно 25 км, между станциями B и C равно 15 км, между C и D - 30 км, между D и A - 30 км. Известно также, что длина всей кольцевой дороги менее 75 км. Чему равна эта длина?

Обозначим расстояния между станциями сочетанием их названий:

ab = 25 км., bc = 15 км., cd = 30 км., da = 30 км.

Варианты расположения станций

Для решения задачи нам требуется определить в какой последовательности на круговой железной дороге располагаются станции a, b, c и d. Перечислим все варианты их взаимного расположения, точкой отсчета выберем станцию a:

a, b, c, d a, b, d, c a, c, b, d a, c, d, b a, d, b, c a, d, c, b

Если изобразить круг и обозначить точками с соответствующими обозначениями станции, то станет ясно, что пары вариантов 1 и 6, а так же 2 и 4 одинаковые, различаются лишь направлением движения. Поэтому имеем 4 основных варианта.

Проверим каждый вариант a, b, c, d: при таком взаимном расположении для определения длины дороги нам достаточно сложить расстояния между соседними станциями, они известны.

25 + 15 + 30 + 30 = 100 км. Длина больше 75 км, что противоречит условию.

a, b, d, c: bc = 15 км, станция d находится между b и c, bd + dc = 15 км, но по условию: cd = 30 км. Получили противоречие, данный вариант не подтверждается. a, c, b, d: длину можно найти ab + bd + da, нам неизвестно только bd, можем найти:

bd = cd - cb, так как b располагается между c и d. bd = 30 - 15 = 15 км. Длина дороги

25 + 15 + 30 = 70 км. 70 < 75, противоречий нет.

a, d, b, c: ab = 25 км, станция d находится между a и b, ad + db = 25 км, но по условию ad = 30 км. Это невозможно. Вариант отвергнут.

Получили единственный возможный вариант.

ОТВЕТ: Длина дороги составляет 70 км.

Если станции расположены в порядке A, B, C, D, то длина железной дороги будет равна 25 + 15 + 30 + 30 = 100 км, а это больше 75 км, значит, станции расположены по-другому;

Они могут быть расположены так: A, C, B, D;

A 10 км С 15 км B 15 км D 30 км, тогда

между A и B 10 + 15 = 25 км;

между B и С 15 км;

между C и D 15 + 15 = 30 км;

а между D и A тоже 30 км;

Длина всей дороги составляет AC + CB + BD + DA = 10 + 15 + 15 + 30 = 70 км ...