Можно ли найти 3 различных натуральных числа чтобы сумма любых двух из них была простым числом если нельзя то почему?

Предположим, что такие натуральные числа существуют и обозначим их через a, b, c. Также предположим, что a < b < c.

По нашему предположению имеем, что:

p = a + b, q = a + c, r = b + c - простые числа.

Так как 1 < = a = 2.

Так как 2 < = b = 3.

Следовательно, имеем:

p = a + b > = 3, q = a + c > = 4, r = b + c > = 5.

Так как p, q, r - простые числа и больше 2, то все они нечетные.

Если сумма двух натуральных чисел нечетная, то одно из слагаемых должно быть четным, а другое слагаемое - нечетным.

Если оба слагаемые были бы четными или нечетными, то их сумма была бы четной.

Следовательно, если а - четное, то b и с должны быть нечетными.

Но тогда b + c было бы четным, а значит, не может быть простым.

Если a - нечётное, то b и c должны быть четными. Но тогда b + c было бы тоже чётным и не может быть простым.

Получили противоречие.

Такие 3 числа не существуют.