Три брата родились в один и тот же день, но в разные года. Когда старшему из них исполнилось 17 лет, то сумма возрастов всех трех братьев нацело разделилась на 17. Докажите, что когда среднему из братьев исполнится 17 лет, то сумма возрастов всех братьев не будет кратной 17.

Когда старшему исполнится 17 лет, так как сумма возрастов будет кратна 17, то сумма возрастов среднего и младшего будет кратна 17. Наименьшее число, кратное 17 - это 17, значит, младшему и среднему брату в сумме 17 лет.

Пусть а - это возраст младшего, тогда возраст среднего равен (17 - а), а старшему на это момент 17 лет.

То есть на это момент сумма возрастов трех братьев: а + (17 - а) + 17 = а + 17 - а + 17 = 34.

Пусть прошло х лет (когда среднему исполнится 17 лет, следовательно, х < 17).

Тогда сумма возрастов будет равна: (а + х) + (17 - а + х) + (17 + х) = а + х + 17 - а + х + 17 + х = 34 + 3 х.

Это число может быть кратно 17 при условии, что х = 17, а это невозможно. Что и требовалось доказать.