Сумма n первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле Sn=2n в квадрате+3n. Найти пятнадцатый член этой прогрессии. В ответе указать только число, например, 17.

Допустим, что последовательность чисел а₁, а₂, а₃, ..., является той арифметической прогрессией, о которой идёт речь в данном задании. Тогда, имеем: а₁ = S₁ = 2 * 1² + 3 * 1 = 5; S₂ = 2 * 2² + 3 * 2 = 8 + 6 = 14 и а₂ = S₂ - S₁ = 14 - 5 = 9; S₃ = 2 * 3² + 3 * 3 = 18 + 9 = 27 и а₃ = S₃ - S₂ = 27 - 14 = 13. Проверим, действительно ли данные три числа являются первыми тремя членами данной арифметической прогрессии. Согласно характеристического свойства арифметической прогрессии, должно выполняться равенство: а₁ + а₃ = 2 * а₂. Применительно к нашей арифметической прогрессии, это равенство имеет вид: 5 + 13 = 2 * 9 или 9 ≡ 9. Значит, числа 5; 9 и 13 действительно являются первыми тремя членами данной арифметической прогрессии. Очевидно, что шаг (разность) d этой арифметической прогрессии равен d = а₂ - а₁ = 9 - 5 = 4. Продолжая процесс, описанный выше имеем: а_n = S_n - S_{n - 1} = 2 * n² + 3 * n - (2 * (n - 1) ² + 3 * (n - 1)) = 2 * n² + 3 * n - 2 * n² + 2 * 2 * n - 2 * 1² - 3 * n + 3 = 4 * n + 1. Полученная формула определения а_n должна совпадать с формулой a_n = a₁ + d * (n - 1). Имеем: a_n = 5 + 4 * (n - 1) = 5 + 4 * n - 4 * 1 = 4 * n + 1. Согласно метода математической индукции, мы доказали справедливость утверждения, о том, что последовательность чисел а₁, а₂, а₃, ..., является арифметической прогрессией с первым членом 5 и шагом 4. Теперь вычислим требуемый пятнадцатый член этой прогрессии а₁₅. Имеем: а₁₅ = 4 * 15 + 1 = 60 + 1 = 61.

Ответ: 61.