1) Найти первообразную функции f (x) = sin3x-1/2cos2x 2) найти площадь фигуры ограниченной графиком функции y=1-x^2, y=o

1) Первообразная функции равна неопределённому интегралу от этой функции:

F (x) = ∫ (sin 3 x - 1/2 cos 2x) dx = ∫sin 3 x dx - 1/2 ∫cos 2x dx =

- 1/3 cos 3 x + 1/4 sin 2 x + C,

где С произвольное постоянное число.

2) y = 1 - x² это парабола, обращённая выпуклостью в верх. Она пересекает ось Х в точках х = ± 1.

Следовательно, искомая фигура ограничена сверху положительной частью параболы, снизу фигура ограничена осью Х. Её площадь есть определённый интеграл уравнения параболы от 1 до - 1.

Первообразная функции равна:

F (x) = ∫ (1 - x²) dx = ∫dx - ∫x² dx = x - x³/3 + C,

где С произвольное постоянное число.

Площадь искомой фигуры равна:

S = F (1) - F ( - 1) = 2/3 - ( - 2/3) = 4/3.