Диагональ куба равна 5 см. Найти площадь одной его грани и объём.

Диагональ куба является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном этой диагональю, диагональю одной из граней и ребром куба, таким образом если а - ребро куба, в - диагональ одной из граней, то по теореме Пифагора:

5^2 = а^2 + в^2; (1)

В то же время диагональ грани куба является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю грани и двумя ребрами куба, таким образом, по теореме Пифагора:

в^2 = а^2 + а^2; (2)

Подставим выражение в^2 из (2) в (1):

25 = 3 а^2.

Площадь грани куба а^2 = 25/3 = 8⅓ см²; объем куба

а^3 = (25/3) ^ (3/2) = 125 / (3√3) см³.

Ответ: площадь грани куба 8⅓ см²; объем куба 125 / (3√3) см³.