Вершины треугольника - точки A (3; 4), B (12; 3) и C (7; 8). Найдите периметр, углы и площадь треугольника.

Для решения используем формулу определения длины отрезков по координатам концов отрезков.

Длина отрезка АВ = √ ((12 - 3) ² + (3 - 4) ²) = √ (81 + 1) = √82.

Длина отрезка АС = √ ((7 - 3) ² + (8 - 4) ²) = √ (16 + 16) = √32.

Длина отрезка ВС = √ ((7 - 12) ² + (8 - 5) ²) = √ (25 + 25) = √50.

Длина АВ наибольшая, следовательно, если треугольник АВС прямоугольный, АВ - гипотенуза.

Проверим по теореме Пифагора.

АВ² = (√82) = 82.

АС² + ВС² = (√32) ² + (√50) ² = 82.

82 = 82.

Треугольник прямоугольный.

Площадь треугольника будет равна: S = АС * ВС / 2 = √32 * √50 / 2 = 20 см².

Угол С = 90⁰, так как треугольник прямоугольный.

CosАВС = АС / АВ = √32 / √82 = √ (16 / 41) = 0,62.

Угол АВС ≈ 51⁰.

CosВАС = ВС / АВ = √50 / √82 = √25 / 41 = 0,78.

Угол СВС ≈ 39⁰.

Определим периметр треугольника.

Р = √82 + √32 + √50 = 9,06 + 5,65 + 7,07 = 21,7 см.

Ответ: Периметр равен 21,7 см, углы равны 90⁰, 51⁰, 39⁰, площадь равна 20 см².