В группе 30 студентов, из них 12 человек имеют шанс получить отличную оценку на экзамене с вероятностью 0,8; 8 человек - с вероятностью 0,6; остальные - с вероятностью 0,4. Взятый наугад из группы студент получил отличную оценку. Определить вероятность того, что он из третьей части группы.

В третьей группе 30 - 12 - 8 = 10 студентов.

Выдвинем гипотезы:

H1 - взят студент из первой группы.

H2 - взят студент из второй группы.

H3 - взят студент из третьей группы.

B - событие такое, что студент получил отличную отметку.

Вероятности гипотез:

P (H1) = 12/30 = 3/5;

P (H2) = 8/30 = 4/15;

P (H3) = 10/30 = 1/3;

Условная вероятность события B при выполнении H1:

P (B|H1) = 0,8;

Условная вероятность события B при выполнении H2:

P (B|H2) = 0,6;

Условная вероятность события B при выполнении H3:

P (B|H3) = 0,4;

По формуле Байеса найдём вероятность того, что студент, получивший отлично, из третьей группы.

P (H3|B) = P (H3) · P (B|H3) / ((P (H1) · P (B|H1) + P (H2) · P (B|H2) + P (H3) · P (B|H3)) =

= 1/3 · 0,4 / (3/5 · 0,8 + 4/15 · 0,6 + 1/3 · 0,4) = 0,133 / (0,48 + 0,16 + 0,133) = 0,133 / 0,773 = 0,172.

Ответ: 0,172.