4sin^2 x + 4cos (п/2+x) = 3sin п/2 и найти просежутки (-3 п/2; 3 п)

Воспользуемся формулой приведения cos (π/2 + α) = - sinα и табличным значением синуса sin (π/2) = 1. Тогда данное тригонометрическое уравнение примет вид: 4 * sin²x + 4 * (-sinx) = 3 * 1 или 4 * sin²x - 4 * sinx - 3 = 0. Введём переменную у = sinx. Тогда последнее уравнение позволит получить следующее квадратное уравнение 4 * у² - 4 * у - 3 = 0. Поскольку дискриминант D этого квадратного уравнения D = (-4) ² - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64 > 0, то оно имеет два различных корня. Вычислим их: у₁ = (4 - √ (64)) / (2 * 4) = - 1/2 и у₂ = (4 + √ (64)) / (2 * 4) = 1,5 (это побочный корень, так как синус не может принимать значение 1,5). При у = - 1/2, имеем sinx = - 1/2. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующие две серии решений: х₁ = - π/6 + 2 * π * m, где m - целое число и x₂ = 7 * π/6 + 2 * π * n, где n - целое число. По требованию задания найдём среди полученных решений те, которые принадлежат множеству (-3 * π/2; 3 * π). С этой целью решим два двойных неравенства. А) - 3 * π/2 < - π/6 + 2 * π * m < 3 * π. Прибавим ко всем частям этого двойного неравенства π/6. Тогда получим (-4/3) * π < 2 * π * m < (19/6) * π. Поделив все части этого неравенства на 2 * π, имеем - 2/3 < m < 19/12. Это неравенство с учётом того, что m - целое число, имеет следующие дварешение m = 0 и m = 1. Тогда для данного уравнения получаем два решения: х = - π/6 и х = - π/6 + 2 * π = 11 * π/6. Б) - 3 * π/2 < 7 * π/6 + 2 * π * n < 3 * π. Вычтем со всех частей этого двойного неравенства 7 * π/6. Тогда получим (-8/3) * π < 2 * π * n < (11/6) * π. Поделив все части этого неравенства на 2 * π, имеем - 4/3 < n < 11/12. Это неравенство с учётом того, что n - целое число, имеет следующие два решения n = - 1 и n = 0. Тогда для данного уравнения получаем два решения: х = 7 * π/6 + 2 * π * (-1) = - 5 * π/6 и х = 7 * π/6. Соберём все найденные решения в множество {-5 * π/6; - π/6; 7 * π/6; 11 * π/6}.

Ответ: {-5 * π/6; - π/6; 7 * π/6; 11 * π/6}.