Представить в виде квадрата суммы выражение: (х+1) (х+2) (х+3) (х+4) + 1

Перемножим первую и четвертую скобки, и перемножим вторую и третью скобки.

((x + 1) (x + 4)) ((x + 2) (x + 3)) + 1 = (x² + 4x + x + 4) (x² + 3x + 2x + 6) + 1 = (x² + 5x + 4) (x² + 5x + 6) + 1.

Введем новую переменную х² + 5 х = у.

(у + 4) (у + 6) + 1 = у² + 6 у + 4 у + 24 + 1 = у² + 10 у + 25.

Представим выражение в виде квадрата первого выражения, удвоенного произведения первого и второго выражений и квадрата второго выражения, и свернем его по формуле квадрата суммы двух выражений а² + 2 ав + в² = (а + в) ².

у² + 2 * у * 5 + 5² = (у + 5) ².

Выполним обратную подстановку.

((х² + 5 х) + 5) ² = (х² + 5 х + 5) ².