433^55 + 639^55 найти последнюю цифру

433^55 + 639^55

Для начала попробуем найти зависимость между последней цифрой и степенью числа:

433^1 = ... 3 - т. е. число оканчивается на три.

433^2 = ... 3 * ... 3 = ... 9, т. к. нужны только единицы, то только их и перемножаем.

433^3 = 433^2 * 433 = ... 9 * ... 3 = ... 7

443^4 = ... 1

443^5 = ... 3

443^6 = ... 9 и т. д.

Можно увидеть зависимость, а точнее - периодичность конечной цифры:

1) 433^ (1 + 4n) = ... 3

2) 433^ (2 + 4n) = ... 9

3) 433^ (3 + 4n) = ... 7

4) 433^ (4 + 4n) = ... 1, где n - целое число

Тогда 433^55 = 433^ (3 + 4 * 13) = ... 7

Аналогичный трюк делаем и с 639^55:

1) 639^2 = ... 1

2) 639^ (2n - 1) = ... 9

639^55 = 639^ (28 * 2 - 1) = ... 9

Тогда ... 7 + ... 9 = ... 6

Ответ: 6