Мастер распилил два звена и цепь распалась на отдельные звенья. Какое самое большое число звеньев могло быть в этой цепи?

Каждое звено цепи соединяет два соседних звена. Если распилить одно звено, то цепь распадётся на две и звенья, которые ранее были соседними для распиленного, окажутся в двух разных цепях. Однако нам известно, что после работы мастера не осталось ни одного участка цепи, только отдельные звенья.

Для решения задачи мы:

рассмотрим все возможные количества звеньев в цепи начиная с минимального, которые удовлетворяют условиям задачи; определим при каком минимальном количестве звеньев цепь не распадётся на отдельные звенья; в качестве ответа выберем максимальное количество звеньев. Цепь состоит из 2-х звеньев

Если распилить эти два звена то цепь действительно распадётся на эти два звена.

Цепь состоит из 3-х звеньев

При распиливании любых двух звеньев цепь распадается на три звена.

Цепь состоит из 4-х звеньев

Чтобы цепь распалась на четыре звена необходимо обязательно распилить хотя бы одно звено не являющееся крайним звеном.

Цепь состоит из 5-и звеньев

Для получения пяти отдельных звеньев нам нужно распилить звенья, которые оба не являются крайними звеньями.

Если цепь состоит из шести и более звеньев, то какие бы звенья мы не распиливали, всегда останутся два или более скреплённых звена.

Таким образом, самое большое число звеньев в этой цепи может быть 5.

Если мы возьмём последовательность из трёх звеньев цепи, то разделить их на отдельные звенья можно только единственным способом, - распилив центральное звено. И это верно для любой последовательности из трёх соединённых звеньев, для раздела 4-х звеньев уже понадобится более одного распила.

Следовательно, максимальный размер прямой линейной цепи может быть равен 5 элементам. Каждый следующий кусок будет состоять из 2-х новых звеньев и 1-го уже учтённого, поэтому формула для вычисления длинны цепи (n) следующая:

n = 3 + 2 * (k - 1), где k - число распилов.

Если бы цепь была соединена в кольцо, то максимальный её размер был бы на 1 звено меньше.

Ответ: 5 звеньев для прямой цепи, или 4 звена для кольцеобразной.