Является ли значение выражения (3 - √ (3)) ^2 + (3 + √ (3)) ^2 натуральным числом?

Упростим данное по условию выражение.

1. Раскроем скобки по формулам сокращенного умножения:

- квадрат разности:

(a - b) ² = a² - 2 * a * b + b²;

- квадрат суммы:

(a + b) ² = a² + 2 * a * b + b².

(3 - √3) ² + (3 + √3) ² = 3² - 2 * 3 * √3 + (√3) ² + (3² + 2 * 3 * √3 + (√3) ²) = 9 - 6√3 + 3 + (9 + 6√3 + 3) = 12 - 6√3 + (12 + 6√3).

2. Так как перед скобками стоит знак "плюс", то, при их раскрытии, знак слагаемых менять не нужно:

12 - 6√3 + (12 + 6√3) = 12 - 6√3 + 12 + 6√3.

3. Приведем подобные слагаемые:

12 - 6√3 + 12 + 6√3 = 24.

4. Число 24 является натуральным числом.

Ответ: да.

По условию дано выражение, которое представляет собой сумму двух скобок. Первые скобки являются квадратом разности двух чисел (3 и √3), а второе - квадратом суммы этих же двух чисел. Таким образом, данное по условию выражение имеет вид:

(3 - √3) ² + (3 + √3) ².

Упрощение выражений

Чтобы выяснить, является ли значение данного по условию выражения натуральным числом, необходимо его упростить, то есть привести к максимально краткому виду. Чтобы упростить какое-либо выражение, необходимо выполнить в нем все допустимые математические действия:

сложение или вычитание; умножение или деление; возведение в степень или извлечение корней; и т. д.

Упростим данное по условию выражение. В первую очередь необходимо раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения, а именно квадрат разности двух чисел и квадрат суммы двух чисел, а затем приведем подобные слагаемые, то есть найдем алгебраическую сумму всех слагаемых в получившемся выражении:

(3 - √3) ² + (3 + √3) ² = 3² - 2 * 3 * √3 + (√3) ² + 3² + 2 * 3 * √3 + (√3) ² = 9 - 6√3 + 3 + 9 + 6√3 + 3 = 24.

Натуральное число

Натуральными числами называются те числа, которые возникают при нумерации или при определении количества чего-либо. К натуральным числам нельзя отнести числа, которые меньше 0 (отрицательные), дроби (рациональные) и числа, степень которых является дробной (иррациональные).

Число 24 является натуральным числом, так как оно положительное и целое, то есть не имеет дробной части, и оно находится в степени, равной 1.

Ответ: значение данного по условию выражения равно 24, что является натуральным числом.