Решите уравнение cos 2x = cos 4x и найдите все его корни, принадлежащие промежутку [0; пи]

cos 4x = cos² 2x - sin² 2x = cos² 2x - (1 - cos² 2x) = 2cos² 2x - 1.

Отсюда cos 2x = 2cos² 2x - 1. Пусть cos 2x = y, тогда 2y² - y - 1 = 0.

D = 1² + 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9.

y = (1 + √9) / (2 * 2) = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1.

Или y = (1 - √9) / (2 * 2) = (1 - 3) / 4 = - 2 / 4 = - 1/2.

В первом случае cos 2x = 1, следовательно, 2x = 2 * пи * k, где k - целое.

Тогда x = пи * k, где k - целое.

Во втором случае 2x = ±arccos (-1/2) + 2 * пи * k, где k - целое.

Тогда x = ±пи/3 + пи * k, где k - целое.

На участке [0; пи] корнями уравнения являются:

x1 = 0; x2 = пи/3; x3 = пи - пи/3 = 2/3 * пи; x4 = пи.