Произведение шестого и десятого членов арифметической прогрессии равно 24. Найдите сумму их квадратов, если сумма пятого и одиннадцатого членов этой прогрессии равна 11

Дано: арифметическая прогрессия a_n, где n - натуральное число, причем a₆ * a₁₀ = 24; a₅ + a₁₁ = 11. Необходимо найти (a₆) ² + (a₁₀) ². Вспомним: арифметическая прогрессия это последовательность чисел a₁, a₂, ..., a_n (членов прогрессии, n - натуральное число), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего, добавлением к нему постоянного числа d ≠ 0 (шага или разности прогрессии). Имеем: a₆ = a₅ + d, откуда a₅ = a₆ - d; a₁₁ = a₁₀ + d. подставим найденные выражения в равенство a₅ + a₁₁ = 11 на свои места. Тогда получим: a₆ - d + a₁₀ + d = 11 или a₆ + a₁₀ = 11. Используя формулу сокращенного умножения (a - b) ² = a² + 2 * a * b + b², возводим в квадрат обе стороны последнего равенства. Тогда 11² = (a₆ + a₁₀) ² = (a₆) ² + 2 * a₆ * a₁₀ + (a₁₀) ². Учитывая равенство a₆ * a₁₀ = 24, найдём (a₆) ² + (a₁₀) ² = 121 - 2 * a₆ * a₁₀ = 121 - 2 * 24 = 121 - 48 = 73.

Ответ: 73.