Сумма пятого и девятого членов геометрической прогрессии равна 7. Найти сумму их квадратов, если произведение шестого и восьмого членов этой прогрессии равно 12.

По условию:

b₅ + b₉ = 7. (1)

b₆ * b₈ = 12.

Выразим b₆ и b₈ через b₅ и b₉.

b₆ = b₅ * q.

b₉ = b₈ / q.

Тогда b₆ * b₈ = b₅ * q * b₈ / q = b₅ * b₈ = 12. (2)

Уравнение 1 возведем в квадрат.

(b₅ + b₉) ² = 49.

b₅² + 2 * b₅ * b₉ + b₉² = 49.

(b₅² + b₉²) + 2 * b₅ * b₉ = 49.

Выражение в скобках наше искомое, а второе слагаемое это удвоенное уравнение 2.

Тогда (b₅² + b₉²) = 49 - 2 * b₅ * b₉ = 49 - 2 * 12 = 49 - 24 = 25.

Ответ: 25.