Докажите, что для любого натурального n : (7^n+1+8^2n-1) нацело делится на 19.

Question

Агира

Математика

15 февраля, 00:57

Докажите, что для любого натурального n : (7^n+1+8^2n-1) нацело делится на 19.

+2

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Максим Токарев · Answer 1

Докажем методом математической индукции, что для любого натурального n выражение (7^{n + 1} + 8^{2n - 1}) нацело делится на 19.

Проверим выполнение выражения при N = 1, 7² + 8 = 57; 57 / 19 = 3. Результат кратен 19, значит верно. Предположим, что при n = k, выражение 7^(k+1) + 8^(2k-1) кратно 19, докажем, что оно кратно 19 и при n = k + 1.

7^{(k + 2)} + 8^{(2k + 1)} = 7 * 7^{(k + 1)} + 64 * 8^{(2k - 1)} = 7 * 7^{(k + 1)} + 7 * 8^{(2k - 1)}+57 * 8^{(2k - 1)} = 7 * (7⁽^{k + 1)} + 8⁽²^{k - 1)}) + 57 * 8⁽²^{k - 1)}.

Известно, что если один из множителей произведения натуральных чисел кратно какому-либо числу, то и само число кратно этому числу.

Первое слагаемое делится на 19 по предположению вначале пункта два, а второе слагаемое тоже кратно 19, так как 57 кратно 19.

Доказано.