Можно ли на клетчатой бумаге закрасить 15 клеток так, чтобы у каждой было нечётное число закрашенных соседей? (Соседи - клетки, имеющие общую сторону.)

Предположим, что мы закрасили 15 клеток так, чтобы у каждой было нечётное число закрашенных соседей. Найдём число общих сторон закрашенных клеток. Посчитаем для каждой клетки количество общих сторон с соседями. У каждой клетки нечетное число соседей, значит количество общих сторон будет нечётным числом. Сложим полученные нечётные числа для всех 15 клеток. В сумме получим тоже нечётное число, так как сумма нечётных чисел тоже нечётное число.

При этом каждая общая сторона была посчитана дважды и для получения количества общих сторон следует эту сумму поделить на два. Сумма нечётная и нацело на 2 не делится. Получили противоречие, количество общих сторон число нецелое. Значит, для 15 клеток такая раскраска невозможна.

Ответ: Нельзя.