Некоторое заболевание, встречающееся у 5% населения, с трудом поддаётся диагностике. Один грубый тест на это заболевание даёт положительный результат в 60% случаев, когда пациент действительно болен, и в 30% случаев, когда у пациента нет этого заболевания. Пусть для конкретного пациента этот тест даёт положительный результат. Какова вероятность, что у него есть это заболевание?

До проведения теста существуют два предположения:

H1 - пациент болен;

H2 - пациент здоров;

P (H1) = 0,05 - вероятность, что пациент болен;

P (H2) = 1 - 0,05 = 0,95 - вероятность, что пациент здоров;

Пусть событие A - положительный результат теста;

Условные вероятности события A:

P (A/H1) = 0,6;

P (A/H2) = 0,3;

Тогда по формуле Байеса вероятность того, что у пациента есть это заболевание будет:

P (H1/A) = (P (A/H1) · P (H1)) / (P (A/H1) · P (H1) + P (A/H2) · P (H2)) =

= (0,6 · 0,05) / (0,6 · 0,05 + 0,3 · 0,95) = 0,0952;

Ответ: Вероятность, что пациент болен при положительном тесте равна 0,0952;