У = (х-5) (х+5) ^4 найдите f' (-4)

Найдём производную данной функции: y = (х - 5) (х + 5) ^4.

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

(uv) ' = u'v + uv' (основное правило дифференцирования).

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x) (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (х - 5) ' = (х) ' - (5) ' = 1 * x^ (1 - 1) - 0 = 1 * x^0 = 1 * 1 = 1;

2) ((х + 5) ^4) ' = (х + 5) ' * ((х + 5) ^4) ' = (1 * x^ (1 - 1) + 0) * 4 * ((х + 5) ^ (4 - 1) = 1 * x^0 * 4 * (х + 5) ^3 = 1 * 1 * 4 * (х + 5) ^3 = 4 (х + 5) ^3.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = ((х - 5) (х + 5) ^4) ' = (х - 5) ' * (х + 5) ^4 + (х - 5) * ((х + 5) ^4) ' =

1 * (х + 5) ^4 + (х - 5) * 4 * (х + 5) ^3 = ((х + 5) ^3) * (x + 5 + 4x - 20) =

((х + 5) ^3) * (5x - 15) = ((х + 5) ^3) * 5 * (x - 3) = 5 (x - 3) (х + 5) ^3.

Вычислим значение производной в точке х0 = - 4:

y' ( - 4) = 5 * ( - 4 - 3) * ( - 4 + 5) ^3 = 5 * ( - 7) * (1) ^3 = - 35.

Ответ: y' = 5 (x - 3) (х + 5) ^3, а y' ( - 4) = - 35.