Каждый день кусок уменьшается на 20%. Через сколько дней кусок мыла уменьшится более чем на половину?

Обозначим величину исходного куска мыла через х.

В условии задачи сказано, что каждый день кусок мыла уменьшается на 20%, следовательно через один день величина оставшегося куска мыла составит х - (20/100) х = х - (2/10) х = х - 0.2 х = 0.8 х.

Еще через день величина оставшегося куска мыла составит 0.8 х - (20/100) * 0.8 х = 0.8 х - 0.2 * 0.8 х = 0.8 х - 0.16 х = 0.64 х.

Еще через день величина оставшегося куска мыла составит 0.64 х - (20/100) * 0.64 х = 0.64 х - 0.2 * 0.64 х = 0.64 х - 0.128 х = 0.512 х.

Еще через день величина оставшегося куска мыла составит 0.512 х - (20/100) * 0.512 х = 0.512 х - 0.2 * 0.512 х = 0.512 х - 0.1024 х = 0.4096 х.

Таким образом, кусок мыла уменьшится более чем на половину через 4 дня.

Ответ: через 4 дня.