Задание 26. В трапеции ABCD основание AD вдвое больше основания ВС и вдвое больше боковой стороны CD. Угол ADC равен 60°, сторона AB равна 4. Найдите площадь трапеции.

1. Известно, что площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

2. Обозначим длину основания ВС за х.

Из вершины В на основание АВ опустим перпендикуляр ВО, а из вершины С

перпендикуляр СЕ.

3. В треугольнике СЕD сторона CD по условию задачи равна основанию ВС и равна х.

По тригонометрической функции cos угла D найдем отрезок ЕD.

ED : СD = cos60°;

ED = CD * cos60° = х * 1 / 2 = х / 2.

4. Определим отрезок АО, если известно, что ВС = ОЕ = х и AD = 2 * х.

АО = 2 х - х - х / 2 = х / 2.

А это значит, что треугольник АОВ равен треугольнику ECD (по двум сторонам и углу между ними).

И тогда сторона CD равна стороне AB и по условию задачи равна 4, то есть х = 4.

5. Вычислим полусумму оснований трапеции.

(BC + AD) : 2 = (х + 2 х) : 2 = (4 + 2 * 4) : 2 = 6.

6. Из треугольника EDC найдем высоту трапеции СЕ.

CE : CD = sin60°;

СЕ = 4 : 2 * 3^1 / 2 = 2 * 3^1 / 2.

7. Найдем площадь Sтрапеции.

S = 6 * 2 * 3^1 / 2 = 12 * 3^1 / 2.

Ответ: Площадь трапеции равна 12 * 3^1 / 2.